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Last modified : January 31, 2009
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My Reports(レポート)

Mathematics Lecture Notes for an American Student (1983)
外国人留学生に対する数学講義の記録(昭和58年)

以前、私が勤務していた公立高校で、外国人留学生を教えた数学講義の記録である。
This report is my lecture notes which once I taught mathematics to an American student for half a year at senior high school.

  1. Mathematics Lecture Notes for an American Student (PDF)
  2. 外国人留学生に対する数学講義の記録 (PDF形式)

A History of Compass and Triangle (1999)
三角定規とコンパスの歴史(平成11年)

三角定規やコンパスは、文部省の指導要領では、小学校や中学校で教えることになっている。だが、その使い方や歴史はよく知られているのであろうか。私自身、定年を前にして自分の無知を知り、急いで研究を始めた次第である。
According to the guidelines of the Ministry of Education, we are supposed to teach triangle and compass in elementary school and junior high school. But are we teachers well informed with them? To my regret, I did not know their history until several years before my retirement, so I began to study it hastily.

  1. A History of Compass and Triangle (PDF)
  2. 三角定規とコンパスの歴史 (PDF形式)

Factorization of Symmetric Expressions (2000)
対称式の因数分解について(平成12年)

本稿は、授業の合間に、研究室で同僚と交わした雑談をまとめたものである。一つの話題が次第に深まっていくのは楽しい。
This is an arrangement of my record which we discussed in the math-teacher's office. We usually discussed topics of mathematics with our colleagues and it was fun to be gradually broadened the topics.

  1. Factorization of Synmetric Expressions (PDF)
  2. 対称式の因数分解について (PDF形式)

The Verification of Archimedes' Pi (2000)
アルキメデスによる円周率の計算(平成12年)

円周率は、小数点以下18桁までは諳んじている。また、Leibnizの級数から計算できることは知っている。だが、自分の手で計算したことは一度もない。根無し草の数学でなく、自分の足で立てる数学を再構築したいと思っている。
I know pi correctly to 18 decimal places by heart and also know that it is able to calculate by using the Leibniz's series but I have never calculated pi by myself. I think my mathematics is rootless, so I would like to reconstruct my mathematics.

  1. The Verification of Archimedes' Pi (PDF)
  2. アルキメデスによる円周率の計算 (PDF形式)

A Study of Expansion into Continued Fraction (2000)
連分数展開の考察(平成12年)

高等学校数学から失われた数学の一つにユークリッドの互除法がある。古代ギリシャ時代から使われてきた手法である。また、連分数もこれと同じ手法である。
The ministry of education has revised its teaching guidelines every 10 years since World War II. Some mathematics have vanished from the course of study. Euclidian algorithm and Continued Fraction are two of them. They have been widely used since the ancient Greek times, both are the same method and the former is important in the number theory.

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A Chord Table in Ancient Greek Times (2000)
古代ギリシャ時代の三角比の表(平成12年)

三角比の拡張は、いつの時代になされたか。これまで不勉強で分からないままで教えてきた。三角比の歴史を調べるために、古代ギリシャ時代から始めることにする。
What period was the trigonometric ratio generalized? I have been inattentive to the history of trigonometry. Let us begin to study a chord table in ancient Greek times at first in order to study the trigonometric history.

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A Teaching Method of Difference as we see it in the Text Books of England (2000)
英国の教科書に見る「差分」の指導(平成12年)

「分数が出来ない大学生」という本が話題になっている。大学入試に問題があり、そのような学生が出来るのだと一般には考えられている。私は、学校教育と塾教育の在り方が正しく理解されていないところに問題があるのだと 思っている。学校教育と塾教育はどこが違うのか。伝統的な学校教育の手法(数学の)は、問題解決の手法を繰り返し訓練することだと思っている。解決の手法を教えて短時間の内に処理できる塾教育の手法も必要であるが、 ドリルを忘れた教育は学校教育とは思われない。英国の数学の教科書を読んで気付くことは、問題解決の手法を徹底して訓練していることである。目先の成果を求めて、点取り虫を作るのでは、真の数学を教えたことにはな らない。
What is the traditional education? It is a drill in solving a problem, not merely cramming knowlege into student's head. The book titled "College students who can not solve fractions," becomes the talk of town in Japan. Responding to the book, they are considering who or what has given such students admissions to college and regarding the entrance exam and its system as questioable. I think what education has made such students is the most important response. The ideal method of education is the traditional one, not the education stressing rote learning. How is it provided in foreign countries especially in the U.K.? Let us look into the text books: Nuffield Advanced Mathematics Books Longman Group UK Ltd.,1994.


A Short Story of Pi―Before and After the Time of Archimedes (2001)
円周率小史―アルキメデスの前後について(平成13年)

非常勤講師をしていた時分、私の隣席に座す同僚から、円周率の計算はどのような近似式が用いられるのかと聞かれたことがある。即座に思い出されたのは、大学で学んだライプニッツの級数であった。だが、実用に耐え る展開式は、どのようなものなのか調べてみることにする。
"Do you know what kind of series is used in practice as we calculate pi? "One of my colleagues asked me. I instantly remembered the Leibnitz's series which I studied in my school days. But I do not know what is the most useful one. Let us study the series. Please, pay attention on a solution to the problem.

  1. A Short Story of Pi―Before and After the Time of Archimedes (PDF)
  2. 円周率小史―アルキメデスの前後について (PDF形式)

The Solution of cubic equation and quartic equation (2001)
三次および四次方程式の解法(平成13年)

「大学の入学試験に、二次方程式の解の公式を求める問題を出題したが、その結果は惨憺たるものであった。」これは、広島大学教授であった故中野 昇先生から個人的に伺った話である。(昭41)受験生は、解の公式を用いて二次方程式を 解くことは出来るが、解の公式を求める苦難の歴史は全く教えられていないのである。方程式の代数的解法とは、四則演算および累乗根のみで方程式を解くことで、解の公式を求めることは、代数的解法である。四次以下の方程式は、解の公式を もつが、五次以上の方程式は、代数的に解くことが不可能であることが証明されている。(1826―アーベル)まず、三次および四次方程式の解の公式を整理してみたい。
"We have made questions for an entrance examination asking to find the formula for solution of quadratic equation." "But it has ended in the miserable results. "This is a story which I personally heard from the late Dr. Noboru Nakano who was a professor of Hiroshima University.(1956) This means that the students for the examination did not know the long and hard history of mathematics in solving equations, that is to say, they were not well educated. That the equation is algebraically solvable, means to be able to solve by radicals and four algebraic operations. Therefore, to have the formula for solution means to have algebraic solution. Historically speaking, we know the equations of less than or equal to the fourth degree, have their formulae for solution. And it was proved by Abel, N. H.(1802―1829) in 1826 that the equations more than or equal to the fifth degree are not able to solve algebraically.

  1. The Solution of cubic and quartic equation (PDF)
  2. 三次および四次方程式の解法 (PDF形式)

A Study of Japanese Mathematics, Wasan (2003)
日本の数学「和算」の研究(平成15年)

平成11年に、英国の後期中等教育における数学教育を調べるために、英国から次の教科書を取り寄せた。The Nuffield Advanced Mathematics seriea, Longman, 1994 このシリーズは、上級の内容を有し、古代中国の数学が多数資料として紹介され、数学史上の話題である「カルダーノとタルタリアの話」、インドの天才数学者ラマヌジャンの話、ナイチンゲールの産褥熱死亡率の統計分析とその実践、乳児 の数計算能力の実験等々、数学史から数学の応用実践、「音楽と数学」までの幅広い話題が、読み物風にまとめられている。一方、我が国では、このような動きが始りかけてはいるが、我が国固有の数学「和算」までには程遠い現状にある。

  1. A Study of Japanese Mathematics, Wasan (PDF)
  2. 日本の数学「和算」の研究 (PDF形式)

Euclidean Algorithm and Indeterminate Equation (2004)
ユークリッドの互除法と不定方程式(平成16年)

代数学なかでも数論において、ユークリッドの互除法の役割は大きい。現在、高校で教えることになっているが、実際にはほとんど指導されていないのが現状である。初等・中等教育から疎外される理由は、生徒が理解できないとか、素因数分解 ができれば最大公約数は求めることができるので、ユークリッドの互除法はいらない等の理由がある。小学校の低学年の時期に繰り返し教わった九九は、年老いた今も計算の基をなす。「ユークリッドの互除法」も九九のようにはいかないものか。
Reflecting on the function of Euclidean algorithm to serve in algebra, particularly in number theory, I think it is necessary to teach the algorithm from early stage of elementary education. The existing circumstance is that it is alienated from the elementary or secondary education, whose teachers seem to think it would be difficult to teach or unnecessary if students could factorize the number into prime factors. Generally speaking, the rote learning is desirable at early stage of education.

  1. Euclidean Algorithm and Indeterminate Equation (PDF)
  2. ユークリッドの互除法と不定方程式 (PDF形式)

Pythagorean Theorem and Golden Section (2004)
三平方の定理と黄金分割について(平成16年)

三平方の定理は、「ピタゴラスの定理」とも言われる。中国では、BC2世紀に書かれた書籍「周髀算経」にある。以来、中国ではこの定理は「勾股の理」と呼ばれてきた。古代インドでは、Baudhayanasutra(BC6世紀頃)が最初とされる。 また、この定理が、史上最初に現れたのは、メソポタミアの楔形文字板 (BC19〜BC16世紀)である。O. Neugenbauerによると、ピタゴラスはこの楔形文字板から定理を得たのだといっている。(Dr. A. K. Bag)
The theorem about the square of the hypotenuse, is usually known as Pythagorian theorem and is universally associated with the name of the Pythgoras, thuogh no really trustworthy evidence exists that it was actually discovered by him.(Thomas Heath) It has been conclusively proved by Neugenbauer that Pythagoras has derived his "Number theorem of Universe" as well as the so-called Pythagorian Theorem from the Babylonian cuneiform tablets. (Dr. A. K. Bag) The Chinese knew a similar relation which appeared in Chou Pei (2nd century B.C.) and Chinese people have called it Gougu (勾股) Rule (理). In India, this proposition appeared first in the Baudhayanasutra (c. 6th century B.C.).

  1. Pythagorean Theorem and Golden Section (PDF)
  2. 三平方の定理と黄金分割について (PDF形式)

The Root of Algebraic Extensions (2006)
代数拡大の系譜(平成18年)

隠居生活もすっかり定着してきた。お陰様で健康には恵まれ、日々、現代代数学を楽しんでいる。この学問は、答えを求める筋道を明らかにする学問だと思っている。答えが合ったから満点とする学習評価は通用しない。ある意味では、難しい 学問であるが、零点がないので、出来の悪い小生には、楽しい学問である。日頃から考えていることの一端を記してみたい。
Modern algebra is the studies to make clear the process of solving the problems, not merely to give a result. More over, because of the fact that the learners are not evaluated by only a result, modern algebra gives us pleasure to study. Thanks to my good health, I am enjoying my retired life by studying it. Now, I would like to touch on the fringe of my study.

  1. The Root of Algebraic Extensions (PDF)
  2. 代数拡大の系譜 (PDF形式)

Euler's three Formulas―Gamma, Beta and Zeta Functions (2007)
「博士の見つけた数式」(平成19年)

先日、「博士の愛した数式」と題した小説にお目にかかった。著者は、芥川賞受賞者の小川洋子さんである。交通事故による後遺症で、記憶が80分しか保たない老数学者とその家政婦の間に織りなす、悲しくも暖かい愛の物語である。 私も、今年は古稀を迎え、次第に衰える記憶力に、何かしら博士に共感を覚えるこの頃である。この本の題名にあやかって、オイラーの見つけた三つの数式、ガンマー関数、ベター関数、ゼター関数の展開を試みたい。
Several days ago, I read the novel entitled "The Formulas, as An old Mathematician Loved." The auther is Yoko Ogawa who was awarded the Akutagawa prize which is a gateway to the literary world in Japan. It is a sad but warm love story between an old mathematician and his tender home maid. He is forced to keep his memory for only eighty minutes by aftereffect of his traffic accident but he is enjoying solving a problem for a mathematics prize contest. This year, I see my 70th birthday come around. As I feel my memory is fading in these days because of my age, I sympathize with the old mathematician. I would like to develop the Euler's formulas in this report to share the novel.

  1. Euler's three Formulas (PDF)
  2. 「博士の見つけた数式」 (PDF形式)

Solutions and Permutations (2008)
方程式の解と置換について(平成20年)

2次方程式の解法は古く、1,700年も昔のメソポタミア数学の中に見える。3次と4次方程式の解法は、16世紀イタリアで発見された。以後200年余りの間、幾多の数学者の挑戦にもかかわらず、5次以上の方程式の解法は発見されないままであった。 1797年に、イタリアの数学者ルフィーニが、1829年に、ノールウエーの数学者アーベルが、5次以上の方程式は、代数的に解くことが出来ないことを証明した。1846年、エヴァリスト・ガロアの遺稿論文「累乗根で方程式が解ける条件について」 が公表され、代数方程式の可解判定条件がが完全に解決された。現在、ガロア理論として現代数学の根幹をなしている。
The solution of quadratic equation dates back to 1,700 years ago. We can see it in Mesopotamian mathematics. With respect to the cubic and quartic equations, they were discovered in the 16th century in Italy. Since then, so many mathematicians challenged to solve the more than 4th degree equations for about 200 years but in vain. At the end of the 18th century, Italian mathematician Paolo Ruffini proved that it is impossible to solve more than 4th degree equation in 1797, but his proof had gaps and it was not accepted by his contemporaries. And Norwegian mathematician Niels Henrik Abel proved it in 1829. Evariste Galois's posthumous thesis, "A memoire on the conditions of solability of equations by radicals," was published in 1846. The conditions of the solability of equations were completely solved in his thesis. Today's mathematics is based on the Galois theory.

  1. Solutions and Permutations (PDF)
  2. 方程式の解と置換について (PDF形式)

A Bridge between Finite and Infinite (2008)
有限と無限の間隙(平成20年)

 妻の所属する読書会で、数学では無限をどのように把握するのかが話題になったという。高校数学では、極限や数学的帰納法で無限を理解していたが、代数では、有限群や有限体の巡回を用いている。古代ヒンズーの「輪廻」に似た手法を用いている。
My wife asked me how do they manipulate the finite or the infinite in mathematics. According to my wife, the topic came up at her reading circle. We studied it through mathematical induction or limit at our high school. But we manage it by cyclic group or cyclic field, which is similar to the ancient hindu's thought, the cycles of life, "Samsara" in Sanscrit, "rinne" in Japanese.

  1. A Bridge between Finite and Infinite (PDF)
  2. 有限と無限の間隙 (PDF形式)


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